Quelques travaux de J. Marsden en géométrie symplectique. WEINSTEIN, Alan

Chapitre

Titre: Le permier article de Marsden sur les homologies harmoniques
Durée: 00:15:13   [00:00:00 > 00:15:13]
La première publication de Marsden sous la direction de Coxeter concerne l'étude des homologies harmoniques dans l'espace projectif. La question est de savoir si le produit de deux homologies harmoniques est une homologie harmonique ; plus précisément, quand on fait le produit de plusieurs transformations, quand est-ce que chaque produit partiel est une homologie harmonique ? A la fin de l'article, Marsden insiste sur l'importance de la notion de symétrie dans l'énoncé du théorème. Cet intérêt pour la symétrie sera une constante de son travail.
Titre: Les premiers travaux en géométrie symplectique (1) : fonctions généralisées.
Durée: 00:14:23   [00:15:13 > 00:29:37]
Durant son doctorat à Princeton, Marsden commence à s'intéresser à la géométrie symplectique sous l'influence de Ralph Abraham. Il travaille sur les opérateurs impulsion sur les champs de vecteurs hamiltoniens. Il prolonge ce travail dans le cas où les champs de vecteurs ne sont pas continus, mais pourraient être des fonctions généralisées, des distributions au sens de Schwartz.
Titre: Premiers travaux en géométrie symplectique (2) : groupes de difféomorphismes.
Durée: 00:09:56   [00:29:37 > 00:39:34]
Avec Fisher, Marsden s'intéresse aux symétries en dimension quatre de la relativité générale. Il trouve le groupe de symétrie correspondant au produit semi-direct du groupe des difféomorphismes de la variété, qui correspond au décalage en relativité générale. Ce travail lui permet de faire une synthèse entre la relativité et l'étude du mouvement fluide : les deux font appel à des difféomorphismes. On trouve donc ici une connexion entre deux domaines physiques apparemment disjoints, fondée sur une structure géométrique commune.
Titre: Un résultat en géométrie différentielle : la complétude des variétés homogènes.
Durée: 00:05:23   [00:39:34 > 00:44:57]
En géométrie différentielle, Marsden s'est intéressé à la notion de complétude d'une variété. Une variété est dite complète si ses géodésiques peuvent se prolonger. Le cas est simple pour les variétés riemanniennes compactes. Cependant, dans le cas de variétés pseudo-riemanniennes telles que la relativité générale peut les utiliser, les variétés n'étant pas compactes, le cas est plus complexe. Marsden démontre, en s'appuyant sur les notions de symétrie trouvées dans le théorème de Noether, que la variété est complète si elle est homogène.
Titre: L'équilibre relatif et la réduction symplectique
Durée: 00:14:42   [00:44:57 > 00:59:39]
L'idée de la réduction symplectique, mise en place par Marsden et Weinstein, prend naissance dans l'étude des systèmes en équilibre relatif, c'est-à-dire les systèmes dans lesquels tous les mouvements se suivent selon un paramètre de symétrie. Il avait déjà été démontré que, dans ces systèmes, la valeur de l'impulsion est conservée par un sous groupe de symétrie. Marsden et Weinstein atteignent un résultat plus général : grâce à l'application moment découverte par Souriau, ils ne se restreignent pas au fibré cotangent. Ils mettent alors en place un procédé de réduction symplectique qui permet d'étudier le système en le faisant passer à une dimension inférieure.
Titre: La dynamique des plasmas
Durée: 00:10:36   [00:59:39 > 01:10:16]
Alan Weinstein mentionne brièvement un travail de Marsden sur les relations de symétrie et de singularité dans les équations d'Einstein de la relativité générale. Il mentionne ensuite les travaux de Marsden sur la physique des plasmas, et plus particulièrement sur les équations de Maxwell-Vlasov décrivant l'interaction entre un plasma et un champ électro-magnétique. Marsden et Weinstein cherchent une réduction symplectique de ce système, qui s'obtient par le produit du groupe des symplectomorphismes du plasma et de l'espace cotagent des potentiels électromagnétiques.
Titre: Les corps rigides avec attachements flexibles ; les intégrateurs mécaniques.
Durée: 00:15:20   [01:10:16 > 01:25:36]
Marsden s'intéressa ensuite à l'étude des corps élastiques, et à celle des corps rigides aux attachements flexibles. Du point de vue de l'ingéniérie, cette étude est importante pour comprendre la stabilité des satellites dotés d'antennes non rigides. Il y voit le produit semi-direct d'un dual d'un algèbre de Lie, donné par l'objet rigide, et d'une variété symplectique donnée par les parties flexibles. Cela lui permet de décrire les conditions de l'équilibre relatif de l'objet. Il évoque également le traitement des algorithmes d'intégration mécaniques par Marsden. Pour intégrer un système, il est nécessaire de le discrétiser, mais on perd alors les groupes continus de symétrie. Marsden cherche des moyens de remplacer ces groupes. Ces travaux sont également marqués par l'intérêt de Marsden pour la notion d'holonomie, qui permet d'étudier des mouvements tels que celui du pendule de Foucault ou celui d'un chat qui retombe sur ses pattes.
Titre: Les symétries en théorie des champs ; la géométrie des systèmes non holonomiques avec symétrie.
Durée: 00:14:31   [01:25:36 > 01:39:14]
Pour terminer, Alan Weinstein évoque les travaux de Marsden dans la compréhension du rôle des symétrie dans la théorie des champs. Marsden chercha des formulations des équations de champs d'une manière qui explique le rôle des symétries. Enfin, il mentionne l'intérêt de Marsden, marqué dans ses derniers travaux, pour la géométrie des systèmes non holonomiques avec symétries.

8 chapitres.
  • La première publication de Marsden sous la direction de Coxeter concerne l'étude des homologies harmoniques dans l'espace projectif. La question est de savoir si le produit de deux homologies harmoniques est une homologie harmonique ; plus précisément, quand on fait le produit de plusieurs transformations, quand est-ce que chaque produit partiel est une homologie harmonique ? A la fin de l'article, Marsden insiste sur l'importance de la notion de symétrie dans l'énoncé du théorème. Cet intérêt pour la symétrie sera une constante de son travail.
  • Durant son doctorat à Princeton, Marsden commence à s'intéresser à la géométrie symplectique sous l'influence de Ralph Abraham. Il travaille sur les opérateurs impulsion sur les champs de vecteurs hamiltoniens. Il prolonge ce travail dans le cas où les champs de vecteurs ne sont pas continus, mais pourraient être des fonctions généralisées, des distributions au sens de Schwartz.
  • Avec Fisher, Marsden s'intéresse aux symétries en dimension quatre de la relativité générale. Il trouve le groupe de symétrie correspondant au produit semi-direct du groupe des difféomorphismes de la variété, qui correspond au décalage en relativité générale. Ce travail lui permet de faire une synthèse entre la relativité et l'étude du mouvement fluide : les deux font appel à des difféomorphismes. On trouve donc ici une connexion entre deux domaines physiques apparemment disjoints, fondée sur une structure géométrique commune.
  • En géométrie différentielle, Marsden s'est intéressé à la notion de complétude d'une variété. Une variété est dite complète si ses géodésiques peuvent se prolonger. Le cas est simple pour les variétés riemanniennes compactes. Cependant, dans le cas de variétés pseudo-riemanniennes telles que la relativité générale peut les utiliser, les variétés n'étant pas compactes, le cas est plus complexe. Marsden démontre, en s'appuyant sur les notions de symétrie trouvées dans le théorème de Noether, que la variété est complète si elle est homogène.
  • L'idée de la réduction symplectique, mise en place par Marsden et Weinstein, prend naissance dans l'étude des systèmes en équilibre relatif, c'est-à-dire les systèmes dans lesquels tous les mouvements se suivent selon un paramètre de symétrie. Il avait déjà été démontré que, dans ces systèmes, la valeur de l'impulsion est conservée par un sous groupe de symétrie. Marsden et Weinstein atteignent un résultat plus général : grâce à l'application moment découverte par Souriau, ils ne se restreignent pas au fibré cotangent. Ils mettent alors en place un procédé de réduction symplectique qui permet d'étudier le système en le faisant passer à une dimension inférieure.
  • Alan Weinstein mentionne brièvement un travail de Marsden sur les relations de symétrie et de singularité dans les équations d'Einstein de la relativité générale. Il mentionne ensuite les travaux de Marsden sur la physique des plasmas, et plus particulièrement sur les équations de Maxwell-Vlasov décrivant l'interaction entre un plasma et un champ électro-magnétique. Marsden et Weinstein cherchent une réduction symplectique de ce système, qui s'obtient par le produit du groupe des symplectomorphismes du plasma et de l'espace cotagent des potentiels électromagnétiques.
  • Marsden s'intéressa ensuite à l'étude des corps élastiques, et à celle des corps rigides aux attachements flexibles. Du point de vue de l'ingéniérie, cette étude est importante pour comprendre la stabilité des satellites dotés d'antennes non rigides. Il y voit le produit semi-direct d'un dual d'un algèbre de Lie, donné par l'objet rigide, et d'une variété symplectique donnée par les parties flexibles. Cela lui permet de décrire les conditions de l'équilibre relatif de l'objet. Il évoque également le traitement des algorithmes d'intégration mécaniques par Marsden. Pour intégrer un système, il est nécessaire de le discrétiser, mais on perd alors les groupes continus de symétrie. Marsden cherche des moyens de remplacer ces groupes. Ces travaux sont également marqués par l'intérêt de Marsden pour la notion d'holonomie, qui permet d'étudier des mouvements tels que celui du pendule de Foucault ou celui d'un chat qui retombe sur ses pattes.
  • Pour terminer, Alan Weinstein évoque les travaux de Marsden dans la compréhension du rôle des symétrie dans la théorie des champs. Marsden chercha des formulations des équations de champs d'une manière qui explique le rôle des symétries. Enfin, il mentionne l'intérêt de Marsden, marqué dans ses derniers travaux, pour la géométrie des systèmes non holonomiques avec symétries.
Titre: Quelques travaux de J. Marsden en géométrie symplectique
Sous-titre: Histoires de Géométries - Année 2011.
Auteur(s): WEINSTEIN, Alan
Durée: 01:39:14
Date de réalisation: 27/06/2011
Lieu de réalisation: Fondation Maison des Sciences de l'Homme, 190-198 avenue de France, 75013 Paris, France
Genre: Conférence filmée
Dans cette intervention, Alan Weinstein évoque différentes phases du travail de Jerrold Marsden, son collègue décédé un an auparavant. Ayant écrit un premier article concernant le plan projectif, Marsden se tourne bien vite vers la géométrie symplectique, où il étudie les champs de vecteurs hamiltoniens et les groupes de difféomorphismes. Avec Alan Weinstein, il invente le procédé de réduction symplectique qui permet d'amener un système symplectique à une dimension inférieure. Il contribua également à l'étude de la mécanique des fluides, des corps rigides à attachements flexibles, et à la théorie quantique des champs. Ces études sont très souvent centrées sur la notion de symétrie, sorte de fil directeur de la recherche de Marsden.
Nom: ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche)
Rôle: Producteurs d'oeuvres audiovisuelles
Adresse: FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
Nom: Weinstein
Prénom: Alan
Rôle: Contributeur (par catégorie)
Adresse: University of California, Berkeley, USA
Alan Weinstein, University of California, Berkeley, USA
WEINSTEIN, Alan. "Quelques travaux de J. Marsden en géométrie symplectique", séminaire Histoires de Géométries, année 2011.
Type: Droit d'auteur relatif au contenu du document source
Cette ressource audiovisuelle est protégée par le régime "Creative Commons". Vous êtes libres de la reproduire, distribuer et communiquer au public. Mais vous devez impérativement signaler la paternité de(s) ayant-droit(s) du contenu du média: Alan Weinstein, University of California, Berkeley, USA. Vous n'avez pas le droit de la modifier ni d'en faire un usage commercial. Lecture, diffusion et exploitation concrète de cette ressource audiovisuelle présuppose que vous ayez accepté les règles juridiques Creative Commons décrites dans la page http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.
Type: Droit d'auteur relatif à la production du document source
Cette ressource audiovisuelle est protégée par le régime "Creative Commons". Vous êtes libres de la reproduire, distribuer et communiquer au public. Mais vous devez impérativement signaler la paternité de son(ses) auteur(s): ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France ; Elisabeth De Pablo, ESCoM-AAR,FMSH, Paris, France. Vous n'avez pas le droit de la modifier ni d'en faire un usage commercial. Lecture, diffusion et exploitation concrète de cette ressource audiovisuelle présuppose que vous ayez accepté les règles juridiques Creative Commons décrites dans la page http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.
Titre: Analyse de l'intervention d'Alan Weinstein au séminaire Histoires de Géométries, année 2011.
Langue(s): Français
Type: Analyse plus détaillé
Comment citer: POTTIN, Ange. Analyse de l'intervention d'Alan Weinstein au séminaire Histoires de Géométries, année 2011. AHM 2014.
Id analyse: a5d70537-5e90-4512-ace0-8dbee2de21a5
Id vidéo: a9092b3a-ac2b-4e04-a3de-0b1ea36d4b94