Moteur de recherche

32 médias.
  • MICHEL, Alain
    Alain Michel offre une mise en perspective philosophique de l'évolution de la géométrie de Riemann à Elie Cartan. Sa dynamique est selon lui dictée par une réflexion de nature originellement philosophique sur le statut de l'espace, et se place alors dans une lignée kantienne, qui le thématise à la fois comme objet et comme condition de la pensée des objets. Plus précisément, la géométrie de cette période est prise entre deux pôles : d'une part la géométrie riemanienne, qui n'offre de l'espace qu'une définition locale et différentielle ; d'auter part la géométrie de Klein, qui définit un espace homogène sous l'action du groupe fondamental. C'est à Elie Cartan qu'on doit d'avoir réaliser la synthèse entre ces deux tendances.
  • IGLESIAS-ZEMMOUR, Patrick
    Cours d'enseignement supérieur filmé. Dans cette conférence, Patrick Iglesias-Zemmour retrace les origines de la géométrie symplectique dans les travaux de Lagrange. Ce dernier, pour étudier le problème à deux corps, met en place une méthode de variations des constantes. Cette méthode permet au calcul de prendre place directement sur l'espace des solutions képleriennes du mouvement, et non pas sur celui des conditions initiales. Cette idée, oubliée pendant longtemps, se retrouve au centre de la géométrie symplectique telle qu'elle apparaît dans les années 1950. A partir de cette époque, le calcul de Lagrange se trouve géométrisé, et par-là même globalisé. L'espace des solutions n'est plus un simlpe support pour le calcul, mais est interprété comme une variété sur laquelle agit le groupe de Galilée. Pour terminer, Patrick Iglesias-Zemmour étudie deux conséquences de cette nouvelle géométrie, dans le théorème de décomposition barycentrique et dans la recherche des systèmes élémentaires.
  • BOURGUIGNON, Jean-Pierre
    Les spineurs trouvent leur origine dans les mathématiques avant 1930, avec les travaux d'Elie Cartan et l'invention de l'opérateur de Dirac. Mais Jean-Pierre Bourguignon montre que c'est surtout à partir de la formulation vers 1960 par Atiyah et Singer du théorème de l'indice, qui induit une redécouverte de l'opérateur de Dirac, que la notion de spineur offre prise à un traitement mathématique complet. Le traitement spinoriel des notions mathématiques trouve des applications spectaculaires en topologie et en géométrie différentielle, ainsi qu'en physique, à travers le concept de supersymétrie.
  • Daniel Bennequin, "Qu'est-ce que l'espace ? Mouvement, cohomologie et origine de la géométrie", séminaire Histoires de Géométries 2011
    Conférence filmée. Daniel Bennequin s'interroge sur les origines de la notion d'espace qui structure notre expérience du monde. Il suit le fil de la réflexion de Poincaré en posant cette question à l'aide de la physiologie et des neurosciences. Il soumet les données fournies par ces sciences au cadre de la théorie des groupes, en faisant appel plus particulièrement à la notion d'information mutuelle. Il montre comment on peut, à partir de suites de sensations, construire le produit du groupe des actions volontaires et du groupe des sensations purement contemplatives, produit qui donne la mesure de l'information mutuelle entre un être vivant et son milieu. Par la suite, il montre plus précisément comment la perception de l'espace à trois dimensions peut être engendrée à partir de ce produit, tout en liant sa réflexion à la description des appareils neurologiques qui sont à l'origine de la perception de l'espace et du mouvement.
  • HOUZEL, Christian
    Conférence filmée. Christian Houzel retrace, à travers l'étude de certains problèmes particuliers, les grands linéaments de l'histoire de la géométrie algébrique. Bien que cette discipline ne se soit institué comme telle qu'à partir du XIXe siècle, il est intéressant d'en retracer les origines dans les mathématiques arabes médiévales, qui sont ici étudiées de manière conséquente. A partir du XVIIIe siècle, à la suite du programme cartésien de réduction de la géométrie à l'étude des courbes algébriques, un renversement s'opère : ce ne sont plus les courbes qui sont convoquées comme solution d'équations, mais les équations qui sont utilisés pour construire et contrôler des courbes. Au XIXe siècle, avec les travaux de Clebsch et de Riemann, l'étude des courbes algbriques est étendue à celle des surfaces, ce qui donne prise, chez un Dedekind, à une algébrisation complète de la discipline.
  • MANCOSU, Paolo
    Extrait d'un colloque filmé. Paolo Mancosu se propose de rendre compte des explications mathématiques. Cette tâche est d'autant plus difficile que le caractère explicatif des théories mathématiques est loin de faire l'unanimité, et qu'il n'y a pas plus de consensus sur les exemples d'explications mathématiques. La démarche que Mancosu propose est dès lors de partir d'une théorie philosophique de l'explication mathématique, et de la confronter à un exemple tiré de la pratique mathématique qui soit assez précis pour servir de test empirique à la théorie. C'est ce qu'il accomplit en confrontant le modèle de Steiner, pour qui une explication mathématique fait appel aux "propriétés essentielles" des objets, à la démonstration de convergence de séries infinies par Kummer.
  • ROWE, David E
    Conférence filmée. David E. Rowe étudie les travaux de jeunesse de Lie et de Klein. Il révèle l'influence très forte de la géométrie sphérique d'un Darboux sur ces travaux à partir de leur visite à Paris en 1869. Les deux mathématiciens vont notamment trouver des moyens de lier cette géométrie sphérique avec la géométrie linéaire de Plücker et Kummer. Cette étude permet de réévaluer la signification du programme d'Erlangen énoncé par Klein. Il s'agit moins de réduire toute la géométrie à la théorie des groupes que de se donner les conditions pour appliquer les connaissances élaborées dans un domaine des mathématiques sur un autre domaine.
  • LOMBARD, Philippe
    Dans cette intervention, qui a eu lieu à l'occasion du colloque "Inventer l'espace", Philippe Lombard propose de retracer dans les règles de la perspective de la Renaissance l'origine de problèmes qui vont mener à la consitution de l'espace géométrique en tant qu'objet. La véritable dynamique qui préside à la mise en place de ces problèmes ne réside pas dans la géométrie elle-même, mais dans les enjeux esthétiques portés par la peinture : centralité du sujet, représentation du sacré... Philippe Lombard fait également état des des connaissances disponibles à l'époque et des obstacles qui s'opposaient au développement d'une géométrie correcte pour la perspective.
  • LOMBARD, Philippe
    Conférence filmée. Dans cette vidéo, Philippe Lombard pose le problème de la représentation des espaces de dimension trois dans un espace à quatre dimensions. Il commence par présenter les procédés de perspective et de projection stéréographique qui permettent de représenter des variétés de dimension deux plongés dans notre espace à trois dimensions. Pour la représentation des variétés de dimension trois, il est nécessaire de faire appel à des procédures de collage; c'est toute une gymnastique topologique que Philippe Lombard développe ici. Il expose ensuite les procédés algébriques mis en place par Poincaré pour comprendre et classer ces variétés de dimension trois : l'homotopie et l'homologie. Enfin, il montre comment ces résultats aboutissent à l'énoncé de la conjecture de Poincaré, et à l'hypothèse de Jean-Pierre Luminet selon laquelle notre univers a pour forme l'espace dodécaédrique de Poincaré.
  • SOULE, Christophe
    Christophe Soulé dresse à grands traits l'histoire de la géométrie des nombres, de ses origines loitaines chez Euclide à la tentative de synthèse d'Arakelov avec la géométrie algébrique, en passant par l'établissement du théorème central de la discipline par Minkowski. Pour finir, il propose une interprétation neurobiologique de la différence irréductible entre la géométrie des nombres, de dimension qualitative, et la géométrie algébrique exacte.
  • VOLKERT, Klaus
    Conférence filmée. Comment passe-t-on de l'idée d'un espace universellement donné à celle d'espaces produits selon des procédures mathématiques ? Klaus Volkert retrace cette idée à travers les travaux de mathématiciens de la fin du XIXe siècle et du début du XXe siècle. Clifford démontre en 1873 l'existence d'espaces qui ne sont conformes que localement à la géométrie euclidienne. Klein pose la question topologique du lien entre cette dimension locale et la compréhension globale de l'espace. Killing propose une méthode pour étudier ces types d'espaces, qui consiste à étudier l'isométrie locale à l'espace euclidien afin de construire les sous-groupes du groupe d'isométries. Weyl démontre que cette méthode produit des cristaux, et utilise pour les étudier la notion de revêtement topologique. Enfin, Hopf étend ces considérations aux espaces tridimensionnels.
  • PANSU, Pierre
    Cours d'enseignement supérieur filmé. Pierre Pansu examine les contributions de Mikhaïl Gromov en géométrie riemannienne. Il expose la démonstration par Gromov de l'existence d'espaces périodiques non-euclidiens pouvant être dotés d'une métrique arbitrairement proche de la métrique euclidienne. La preuve de ce théorème fait appel à la notion de distance de Hausdorff. Elle met en place toute une stratégie pour passer du discret au continu à l'aide d'un phénomène de convergence. Cette idée de Gromov trouve un champ d'application en biologie, dans l'identification des protéines soumises à des déformations, mais aussi dans la preuve de la conjecture de Poincaré par Grigori Perelman, preuve qui s'appuie également sur les travaux de Rick Hamilton sur les équations à dérivées partielles. Elle trouve également une grande fécondité en informatique, grâce à son caractère relativement rudimentaire qui la rend aisément traduisible d'un domaine à l'autre.
  • JULLIEN, Caroline
    Conférence filmée. Comment définir le rôle, pris pour acquis par beaucoup de mathématiciens et de savants, que joue l'esthétique dans le développement des mathématiques ? Pour répondre à cette question, Caroline Jullien commence par interroger deux stratégies argumentatives classiques, l'une convoque l'histoire des différentes notions de beau et leurs relations aux mathématiques, l'autre fait appel à l'autorité de savants ayant développé une théorie de la beauté des mathématiques. Cependant, il est très difficile de définir la dimension esthétique des mathématiques par ces biais sans importer des implications ontologiques dont la théorie devient dépendante. La seule issue semble alors d'adopter la théorie sémiologique et fonctionnelle de Nelson Goodman, qui permet d'identifier les conditions (qu'il appelle "symptômes") de l'attribution d'une dimension esthétique à quelque chose. Pour terminer, Caroline Jullien illustre ces différents symptômes de l'esthétique à travers des exemples mathématiques.
  • SZCZECINIARZ, Jean-Jacques
    Dans cette conférence, jean-Jacques Szczeciniarz pose la question suivante : étant donnée le très haut degré d'algébrisation de la géométrie contemporaine, que reste-t-il de proprement géométrique dans la pratique des géomètres ? Pour y répondre, il s'agit de "chercher la géométrie" à travers une étude de cas relevant d'un degré élevé de stratification algébrique, celui de la suite spectrale en géométrie complexe. En effet, la suite spectrale consiste à bien des égards en un retour réflexif de l'algèbre sur elle-même, à travers un processus de spatialisation diagrammatique. Tout l'enjeu sera de montrer que cette algèbre garde bien en elle-même quelque chose de la situation géométrique initiale qu'elle avait initialement pour but de capturer et de contrôler ; même, il semble que l'algèbre, même à un tel niveau d'abstraction, soit apte à produire de la géométrie.
  • BERGERON, Nicolas
    Conférence filmée. Comment Poincaré est-il arrivé à la formulation de son théorème d'uniformisation ? Il s'agit d'abord d'aller voir dans la classification des courbes planes et la théorie des surfaces de Riemann. Cette dernière donne naissance à un nouvel invariant permettant de classer les courbes, à savoir le genre. Le théorème d'uniformisation de Poincaré permet d'uniformiser les courbes de genre supérieur à deux. Nicolas Bergeron montre que Poincaré est arrivé à ce théorème à partir d'un travail sur les équations différentielles linéaires d'ordre deux, travail qui l'a amené à la découverte des fonctions fuchsiennes.
  • CHARGOIS, Francois
    François Chargois montre dans cette conférence que l'on peut comprendre certaines théories de Grothendieck comme un approfondissement de la théorie de Galois. Grothendieck, tout d'abord, a fait de la théorie classique de son illustre prédécesseur un cas particulier de sa théorie du groupe fondamental étale de la théorie des schémas. Cette influence ressurgit ensuite dans la théorie des motifs et la recherche d'une cohomologie universelle pour les variétés algébriques, en lien avec les catégories tannakiennes.
  • WEINSTEIN, Alan
    Conférence filmée. Dans cette intervention, Alan Weinstein évoque différentes phases du travail de Jerrold Marsden, son collègue décédé un an auparavant. Ayant écrit un premier article concernant le plan projectif, Marsden se tourne bien vite vers la géométrie symplectique, où il étudie les champs de vecteurs hamiltoniens et les groupes de difféomorphismes. Avec Alan Weinstein, il invente le procédé de réduction symplectique qui permet d'amener un système symplectique à une dimension inférieure. Il contribua également à l'étude de la mécanique des fluides, des corps rigides à attachements flexibles, et à la théorie quantique des champs. Ces études sont très souvent centrées sur la notion de symétrie, sorte de fil directeur de la recherche de Marsden.
  • HOUZEL, Dominique
    Conférence filmée. Christian Houzel retrace l'histoire des problèmes liés à la notion de module en géométrie algébrique. Cette notion trouve son origine au XVIIIe siècle dans la théorie des intégrales de fonctions elliptiques. Elle est associée à la forme canonique de ces fonctions, qu'elle permet de paramétrer. Au XIXe siècle, ces problématiques seront reprises dans le cadre de l'étude des surfaces de Riemann ; le module permet alors de fixer les points de ramification d'une fonction méromorphe. Christian Houzel étudie ensuite le traitement de la notion jusque dans la géométrie algébrique de Grothendieck, qui l'inscrit dans le cadre de la représentation de foncteurs.
  • BERGER, Marcel
    Conférence filmée. Marcel Berger commence par dresser un aperçu des opinions des plus grands mathématiciens du XXe siècle concernant les rapports de la géométrie à l'imagination, à l'intuition et à l'algèbre. Dans la seconde partie de sa communication, il présente quatre problèmes de géométrie qui manifestent le lien étroit entre cette discipline et la faculté d'imagination : le théorème de Pappus ; l'itération de figures à cinq, six et sept côtés ; les mouvements périodiques des billards ; le grand théorème de Poncelet. Ces quatre domaines d'étude font appel aux procédés d'itération et de projection, et leur traitement est emprunté à Richard Schwartz.
  • BENNEQUIN, Daniel
    Colloque filmé. Une physique moderne, issue de la physique des particules, n'hésite pas à faire appel aux structures les plus élaborées de la géométrie différentielle ou de la géométrie algébrique. En retour elle apporte plus qu'une liste de problèmes et d'objets nouveaux : des éléments de solutions de questions classiques et des théories nouvelles. Les travaux de Witten, à partir des super-cordes, ont révolutionné la topologie différentielle. Mais le moteur de ces découvertes reste caché à la plupart des mathématiciens, c'est la théorie de la renormalisation. L'exposé de Daniel Bennequin cherche à présenter le nouveau type de formes et de dynamiques que met en jeu la quantification des champs et des champs de cordes ; en particulier le rôle des échelles d'observation et la nature des nouvelles dualités.
  • VITRAC, Bernard
    Cours d'enseignement supérieur filmé. Bernard Vitrac s'intéresse dans cette vidéo à la transmission des deux livres additionnels aux Eléments. Ces deux livres ne sont présents que dans la moitié des éditions de la tradition grecque, mais sont dans toutes les éditions arabes et syriaques postérieures. Le livre XIV est une monographie due à Hypsiclès sur les inscriptions mutuelles des polyèdres, et fut intégrée aux Eléments a posteriori, ce qui nécessita des aménagements dans le livre lui-même mais aussi dans le livre XIII. Le Livre XV est un assemblage de trois parties très hétéroclites. L'étude de ces deux livres nous permet de saisir partiellement les différentes strates et les différentes voies de la transmission d'Euclide, sur une période de plus de mille ans.
  • CHORLAY, Renaud
    Cours d'enseignement supérieur filmé. La géométrie est absente des Eléments de Mathématiques rédigés par le groupe Bourbaki. Cependant, elle fait bien partie du projet initial. Quelles sont les raisons de cet abandon ? Renaud Chorlay propose ici de retracer, par une étude des archives du groupe, la trajectoire de la géométrie dans le projet bourbachique. Quelle est la géométrie visée ? Quelle est sa place dans le plan de l'ouvrage ? Pour mieux comprendre ces questions, l'intervenant propose de les ré-inscrire dans le contexte global des relations de Bourbaki avec Elie Cartan, dont les membres revendiquent l'héritage. Ces relations s'inscrivent dans le cadre de débats sur les fondations de la géométrie différentielle.
  • SZCZECINIARZ, Jean-Jacques
    Jean-Jacques Szczeciniarz s'attache à décrire les fomes sous lesquelles la géométrie paraît avoir "remonté" au coeur même de l'activité de création mathématique au cours du XXe siècle. Après une caractérisation générale des relations entre goémétrie et algèbre, il développe plus précisément deux idées, en se restreignant au cas de la géométrie complexe. Premièrement, la remontée de la géométrie tient à un double mouvement de retour de plus en plus complexe sur soi-même et d'intégration de plus en plus puissante de ses diverses branches et des sciences voisines. Deuxièmement, la géométrie représente, dans un rapport de plus en plus sutbil à l'espace, les éléments les plus nouveaux de l'imagination.
  • GOLDSTEIN, Catherine
    Catherine Goldstein étudie deux mathématiciens travaillant à contre courant des pratiques canoniques de fondation des mathématiques. Au XVIIe siècle, Frénicle de Bessy propose une mise en art de la recherche des solutions de problèmes mathématiques. Au XIXe siècle, Charles Hermite s'intéresse moins aux critères de rigueur et d'élémentarité qu'à celui de fécondité, et limite les principes à un rôle de classification des espèces mathématiques.
  • SOURIAU, Jean-Marie
    Jean-Marie Souriau propose une lecture géométrique de la mécanique quantique à travers la notion de groupe. Il montre notamment comment ce point de vue permet de faire apparaître les probabilités, générés par les groupes eux-mêmes. Le principe épistémologique qui guide cette interprétation est le suivant : à la source de chaque système dynamique (auxquels Souriau donne le simple nom de "choses"), il y a l'action d'un groupe.
  • FLAMENT, Dominique
    Extrait de conférence filmée. Dominique Flament rend hommage à Charles Morazé en évoquant longuement le travail que ce dernier a mené en histoire des sciences. Ce travail constitue encore une partie délaissée de l'œuvre de l'historien. Pourtant, Charles Morazé voyait comme une nécessité l'intégration de l'histoire des croyances scientifiques au sein d'une histoire globale, sans autonomie ou solution de continuité avec l'ensemble des croyances humaines.
  • MARLE, Charles-Michel
    Charles-Michel Marle décrit l'évolution des représentations mathématiques de l'espace et du temps dans la physique, de l'espace et du temps absolu de la mécanique newtonienne à l'espace-temps de la relativité générale. C'est dans ce cadre qu'il interroge notamment l'évolution des notions de relativité du mouvement et de référentiel, toujours à travers leur description mathématique.
  • BARROW-GREEN, June
    Cours d'enseignement supérieur filmé. June Barrow-Green passe en revue les éditions les plus représentatives des Eléments d'Euclide en Angleterre, du XVIe siècle au XXe siècle. Elle met au jour les différentes stratégies pédagogiques animant ces éditions, mises en oeuvre parfois au détriment de la fidélité au texte. Elle s'intéresse notamment à l'évolution dans l'utilisation de l'algèbre dans les démonstrations des théorèmes, et aux implications politiques des dédidaces. Ce travail est mené avec une attention particulière aux procédés de mise en page et au paratexte.
  • CHENCINER, Alain
    Cours d'enseignement supérieur filmé. Alain Chenciner retrace les grandes orientations qui animent le travail de Poincaré dans les trois tomes des Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste. Après une présentation synthétique du problème restreint des trois corps qui en constitue le coeur, il met en place certains des concepts et des outils principaux du traitement géométrique de la mécanique céleste, qui donne naissance à la théorie des systèmes dynamiques. Il est notamment question des coordonnées de Poincaré dans un repère tournant, de la surface de section des solutions périodiques et des invariants intégraux. Finalement, A. Chenciner présente la table des matières de ce travail exceptionnellement riche.
  • LUMINET, Jean-Pierre
    Extrait d'un colloque filmé. Jean-Pierre Luminet retrace l'histoire des relations entre cosmologie et topologie au XXe siècle. Elle commence dès 1900 avec Karl Schwarzschild, qui fait l'hypothèse d'un univers multiconnexe. Le modèle d'Einstein-de Sitter d'un espace euclidien simplement connexe dominera la communauté des cosmologistes jusqu'aux années 1990, et ce malgré les accomplissements du côté des topologistes dans la classification des espaces à dimension trois. A partir de 1995, on assiste à un retour de la topologie cosmique, assise sur des observations astronomiques nouvelles, et à la mise en place de méthodes expérimentales permettant de discriminer les différents modèles. On s'intéresse notamment aux résultats de la cristallographie cosmique et à l'observation du fond diffus cosmologique.
  • LACHIEZE-REY, Marc
    La recherche filmée. On peut voir la relativité générale comme un aboutissement de la dynamique de géométrisation du monde portée par la physique. Après un bref rappel historique, partant d'Aristote et passant par Newton, Marc Lachièze-Rey se demande comment définir l'espace dans l'espace-temps de la relativité générale. Comment passer d'une définition locale, comme hypersurface orthogonale à la ligne de temps de l'observateur, à un système de référence global, valable pour une communauté d'observateurs virtuels ? L'auteur propose pour y répondre une définition opérationnelle de l'espace comme hypersurface de simultanéité.