Géométrie 2000

Le colloque international Géométrie au XXe siècle, 1930-2000, ou "Géométrie 2000", a eu lieu du 24 au 29 septembre 2001 à l'Institut Henri Poincaré, à l'Ecole Normale Supérieure de Paris et à l'Institut de France.

 

  • MARLE, Charles-Michel

    Charles-Michel Marle décrit l'évolution des représentations mathématiques de l'espace et du temps dans la physique, de l'espace et du temps absolu de la mécanique newtonienne à l'espace-temps de la relativité générale. C'est dans ce cadre qu'il interroge notamment l'évolution des notions de relativité du mouvement et de référentiel, toujours à travers leur description mathématique.

  • MICHEL, Alain

    Alain Michel offre une mise en perspective philosophique de l'évolution de la géométrie de Riemann à Elie Cartan. Sa dynamique est selon lui dictée par une réflexion de nature originellement philosophique sur le statut de l'espace, et se place alors dans une lignée kantienne, qui le thématise à la fois comme objet et comme condition de la pensée des objets. Plus précisément, la géométrie de cette période est prise entre deux pôles : d'une part la géométrie riemanienne, qui n'offre de l'espace qu'une définition locale et différentielle ; d'auter part la géométrie de Klein, qui définit un espace homogène sous l'action du groupe fondamental. C'est à Elie Cartan qu'on doit d'avoir réaliser la synthèse entre ces deux tendances.

  • BENNEQUIN, Daniel

    Colloque filmé. Une physique moderne, issue de la physique des particules, n'hésite pas à faire appel aux structures les plus élaborées de la géométrie différentielle ou de la géométrie algébrique. En retour elle apporte plus qu'une liste de problèmes et d'objets nouveaux : des éléments de solutions de questions classiques et des théories nouvelles. Les travaux de Witten, à partir des super-cordes, ont révolutionné la topologie différentielle. Mais le moteur de ces découvertes reste caché à la plupart des mathématiciens, c'est la théorie de la renormalisation. L'exposé de Daniel Bennequin cherche à présenter le nouveau type de formes et de dynamiques que met en jeu la quantification des champs et des champs de cordes ; en particulier le rôle des échelles d'observation et la nature des nouvelles dualités.

  • SOULE, Christophe

    Christophe Soulé dresse à grands traits l'histoire de la géométrie des nombres, de ses origines loitaines chez Euclide à la tentative de synthèse d'Arakelov avec la géométrie algébrique, en passant par l'établissement du théorème central de la discipline par Minkowski. Pour finir, il propose une interprétation neurobiologique de la différence irréductible entre la géométrie des nombres, de dimension qualitative, et la géométrie algébrique exacte.

  • BOURGUIGNON, Jean-Pierre

    Les spineurs trouvent leur origine dans les mathématiques avant 1930, avec les travaux d'Elie Cartan et l'invention de l'opérateur de Dirac. Mais Jean-Pierre Bourguignon montre que c'est surtout à partir de la formulation vers 1960 par Atiyah et Singer du théorème de l'indice, qui induit une redécouverte de l'opérateur de Dirac, que la notion de spineur offre prise à un traitement mathématique complet. Le traitement spinoriel des notions mathématiques trouve des applications spectaculaires en topologie et en géométrie différentielle, ainsi qu'en physique, à travers le concept de supersymétrie.

  • CHARGOIS, Francois

    François Chargois montre dans cette conférence que l'on peut comprendre certaines théories de Grothendieck comme un approfondissement de la théorie de Galois. Grothendieck, tout d'abord, a fait de la théorie classique de son illustre prédécesseur un cas particulier de sa théorie du groupe fondamental étale de la théorie des schémas. Cette influence ressurgit ensuite dans la théorie des motifs et la recherche d'une cohomologie universelle pour les variétés algébriques, en lien avec les catégories tannakiennes.

  • SZCZECINIARZ, Jean-Jacques

    Jean-Jacques Szczeciniarz s'attache à décrire les fomes sous lesquelles la géométrie paraît avoir "remonté" au coeur même de l'activité de création mathématique au cours du XXe siècle. Après une caractérisation générale des relations entre goémétrie et algèbre, il développe plus précisément deux idées, en se restreignant au cas de la géométrie complexe. Premièrement, la remontée de la géométrie tient à un double mouvement de retour de plus en plus complexe sur soi-même et d'intégration de plus en plus puissante de ses diverses branches et des sciences voisines. Deuxièmement, la géométrie représente, dans un rapport de plus en plus sutbil à l'espace, les éléments les plus nouveaux de l'imagination.

  • FR

    LUMINET, Jean-Pierre

    Extrait d'un colloque filmé. Jean-Pierre Luminet retrace l'histoire des relations entre cosmologie et topologie au XXe siècle. Elle commence dès 1900 avec Karl Schwarzschild, qui fait l'hypothèse d'un univers multiconnexe. Le modèle d'Einstein-de Sitter d'un espace euclidien simplement connexe dominera la communauté des cosmologistes jusqu'aux années 1990, et ce malgré les accomplissements du côté des topologistes dans la classification des espaces à dimension trois. A partir de 1995, on assiste à un retour de la topologie cosmique, assise sur des observations astronomiques nouvelles, et à la mise en place de méthodes expérimentales permettant de discriminer les différents modèles. On s'intéresse notamment aux résultats de la cristallographie cosmique et à l'observation du fond diffus cosmologique.